Chciałbym rozwiać moje wątpliwości dotyczące teorii próbkowania
sygnałów.

Czy dobrze rozumiem, że twierdzenie Kotielnikowa-Shannona mówi, że
mając sygnał, którego nie posiada składowych o częstotliwości równej i
większej niż B (czyli z przedziału (-B,B)) oraz jeśli mamy
nieskończony ciąg próbek pobierany w odstępach czasy 1/2B indeksowany
od -nieskończoność do +nieskończoność, to możemy dokładnie odtworzyć
sygnał próbkowany.
Dowód rozumiem tak:
1. x(t) (próbkowany sygnał) możemy przedstawić jako całkę ze wzoru na
FFT.
2. Przedział całkowania możemy ograniczyć do (-B,B).
3. Jeśli podstawimy za t=n/2B, gdzie n od -nieskończoność do
+nieskończoność, to całka FFT dla f(n/2B) ma postać współczynnika
zespolonego szeregu Fouriera o indeksie n.
(Źródło: http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon
_sampling_theorem
)

Stąd mając taki nieskończony ciąg próbek indeksowany od -
nieskończoność do +nieskończoność, podstawiając próbki w miejsce
współczynników we wzorze na zespolony szereg Fouriera, możemy uzyskać
funkcję okresową o okresie 2B, która w przedziale (-B,B) przyjmuje te
same wartości, co widmo częstotliwości naszego sygnału.
Biorąc z tej funkcji tylko przedział (-B,B), możemy dokładnie
odtworzyć nasz próbkowany sygnał.

Czyli twierdzenie to mówi tylko o sygnałach, które zawierają
częstotliwości mniejsze niż częstotliwość próbkowania.
Nie mówi (!) natomiast co dzieje się, gdy sygnał zawiera składowe o
częstotliwościach większych lub równych częstotliwości próbkowania.
Tutaj wchodzi odrębne pojęcie aliasingu, które mówi, że jeśli w
sygnale mamy częstotliwość składową f_0 większą niż częstotliwość
próbowania f_s, to po przepuszczeniu przez transformatę Fouriera lub
DFT będzie ona rozpoznana jako składowa o częstotliwości f = |n * f_s
- f_0], gdzie n * f_s to wielokrotność częstotliwości próbkowania
leżąca najbliżej f_0.

Jeśli moje powyższe rozumowanie jest poprawne, to nie rozumiem jeszcze
relacji zachodzącej pomiędzy twierdzeniem Kotelnikowa-Shannona, a DFT.
Z definicji aliasingu wnioskuję tylko, że jeśli częstotliwość
próbkowania jest >= od największej składowej, to aliasing nie wystąpi.
Ale co z odtwarzalnością sygnału? W twierdzeniu korzystam z FT i
zespolonego szeregu Fouriera, a tutaj jest DFT i IDFT.

Oczywiście aliasing może w FT i DFT występować, ale co ma do tego
powyższe twierdzenie?

Łopatologicznie proszę. :)