W dniu 2012-11-15 00:06, bartekltg pisze:
> W dniu 2012-11-14 23:18, AK pisze:> Użytkownik "slawek" <s...@h...pl>
> napisał:
> >
> >> Ślicznie. A dlaczego nie piąty przedział. Albo pięćdziesiąty? Albo
> >> siedemnasty... od końca?
> >>
> >> A jak wezmę uśrednię po wszystkich możliwych wyborach... to otrzymam
> >> metodę trapezów? Prawda? ;)
> >
> > Ano prawda.
>
> Bzdura. Znaczy nieprawda;)
>
> Kwadratura będzie przypominała metodę trapezów środku,
> na bokach będzie wyglądała prawie jak simpson.
> I płynnie przechodziła z jedną w drugą.
>
>
>
> Jaka będzie zbieżność? Pośrednia.
> Złożony Simpson zbiega jak (1/n)^4, złożony
> trapez jak (1/n)^2 (jak ktoś nie wierzy, było na obrazku).
>
> 1/n ~ h
>
> Teraz dodajemy jeden element liczony trapezem.
> Błąd pojedynczej kwadratury trapezów wyraża się
> wzorem h^3/24 f''(c) ~ 1/n^3
>
> Czyli, ten błąd od jednego punktu zdominuje
> błąd całości, ale nadal jest to klasę lepiej niż
> same trapezy.
>
> I takiej klasy będzie też ta nasza dziwna średnia.
>
>
> > Tylko, ze to bedzie (chyba juz dotarlo do ciebie dlaczego ?
> > przeciez pisalismy o tym) blad. Blad w zalozeniu (usrednianie).
> > Ja ci proponuje wziac _tylko jeden przedzial_ (mozesz sobie wziac skad
> > chcesz,
> > masz rzje ze moze byc nawet 17ty, choc 13go i 66tego bym unikal :)
>
>
> Można też:
> http://www.youtube.com/watch?v=Iov3x_D7nxA
>
> i dopasować do ostatnich 3 punktów nową parabolę (mimo, że
> parabole rozpiętą na dwóch pierwszych już policzyliśmy)
> i scałkować tylko interesujący obszar.
>
> Ok, ktoś już o tym wspominał.
>
>
>
> Simpson dla parzystej liczby zakresów wygląda tak
>
> h/3 ( 1 , 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 1 )
>
> Dla nieparzystej
>
> h/3 ( 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 1, 0 ) [1]
> +h/3 ( 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, -0.25, 2, 1.25 ) [2]
> ----------------------------------------------------
--
> h/3 ( 1, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 2, 3.75, 3, 1.25 )
>
> [1] - normalny simpson do przedostatniego punktu
> [2] - poprawka - całka z paraboli opartek na 3 ost
> punktach po obszarze 2 ostatnich punktów
>
>
> Wagi są dodatnie, wiec jest dobrze. Zbieżność z powrotem
> powinna być jak 1/n^4


Dowód na szybko: Powyższe to dokładnie to samo, jakby
do punktów x[n-1] i x[n] dodać punkt x[n-'0.5h']
i na tych 3 punktach użyć simpsona.
x[n-'0.5'] jest stworzony z interpolacji parabolą
z punktów x[n-2] x[n-1] i x[n].

Simpson daje h^4, więc ok. , ale wartosć y[n-'0.5h']
w x[n-'0.5h'] nie jest wartością funkcji, tylko
jej przybliżeniem. Popełniamy pewien błąd i ten błąd
propaguje się do całki.

Ile wynosi |y[n-'0.5h'] - x[n-'0.5h']| przy interpolacji kwadratowej?

~ h^3

Dla funkcji odpowiednio gładkiej etc.

Taki błąd popełniliśmy w wyznaczeniu wartości. Teraz wchodzi
on z wagą h do ostatecznej sumy.

Mamy więc h^4. Rząd kwadratury simpsona dla nieparzystej liczby
przedziałów jest taki, jak wersji oryginalnej.

pzdr
bartekltg