Użytkownik "Wit Jakuczun" <w...@g...com> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:00ba01a3-f5a9-43b7-ac26-5e27616b7e19@b1
4g2000yqd.googlegroups.com...
> Dalej aktualne jest pytanie o to co rozumiesz pod pojęciem
> najlepszej metody całkowania? Przedstawione wyniki, nie bronią
> Twojej tezy, że metoda oparta o splajny jest dużo lepsza od trapezów.

Jest bo jest. Jest dużo lepsza, tzn. w konkretnym zastosowaniu okazała się
dużo lepsza.

Dlaczego? Ano dlatego że trapezy *zawsze* dają nieco mniej dla wypukłych i
trochę więcej dla wklęsłych. Jeżeli kolejny punkt y[k+1] zależy od całki z
poprzednich i na początku jest zawsze funkcja wypukła (bo już tak ona ma),
to trapezy *zawsze* zaniżą wartość całki ergo zaniżą y[k+1] ergo całka dla
y[k+2] będzie jeszcze bardziej malutka. Po prostu trapezy wprowadzają błąd
systematycznie - naginając rozwiązanie w jedną stronę.

Wszelkie metody w których całkę liczy się jako sumę wartości y[i]*w[i],
gdzie w[i] to jakieś wagi - cierpi na prostą chorobę. Weźmy taką metodę
gdzie i ma przebiegać od 1 do 8. Czyli bierzemy osiem punktów kolejnych. No
a potem co? Łącznie mamy powiedzmy 8007 punktów. Czyli metodę 8-punktową
można zastosować np. tak, że najpierw 1000 razy ją zastosować, a potem np.
metodę 7-punktową. Albo najpierw 7-punktową, a potem 8-punktową. Albo np.
najpierw 3-punktową, potem 2-punktową, potem 500 razy 8-punktową, potem
jeszcze raz 2-punktową, i wreszcie 500 razy 8-punktową. Teoretycznie
najdokładniejsza byłoby uśrednienie wszystkiego - a to prowadzi do... wzoru
trapezów. Czyli nie ma innych metod - niż metoda trapezów - jeżeli idzie się
drogą 3/8, Boole itd. Nota bene,

Całkowanie według Romberga ewentualnie mogłoby pomóc - tak jak pisałem,
jeżeli błąd jest rzędu O(h^n) to wystarczą trzy oszacowania dla h1,h2,h3 -
aby ekstrapolować do h->0 bez wcześniejszej znajomości n. Ale to tylko
rodzaj akceleracji zbieżności - a nie metoda sama-w-sobie.

Spliny (kubiczne) powinny dawać lepsze rezultaty na tej prostej zasadzie iż
w wielu konkretnych problemach całkowana funkcja musi być "trochę ciągła i w
miarę gładka". Dla przykładu prędkość. Pochodna prędkości po czasie to
przyspieszenie, a to równa się (w uproszczeniu) sile przez masę. Skoro
zawsze istnieje /jakieś/ skończone przyspieszenie, to znaczy że istnieje
pochodna prędkości, to znaczy że prędkość musi być funkcją ciągłą itd.
Aproksymowanie prędkości łamaną już "na dzień dobry" oszukuje co do wartości
pochodnej w węzłach. Natomiast spliny dają ładne i proste wzory i na
pochodne, i ładny prosty wzór na całkę. W modzie są chyba teraz spliny
stopnia piątego - niestety nigdzie nie znalazłem jakiegoś prostego
algorytmu, ale też i krótko szukałem. Pomijam pppack, fajny jest, używałem,
ale nie mam siły teraz - lato! - wgłębiać się w to znowu.

Trochę czuję się winnym że biorę naturalne spliny zamiast jakiś
mądrzejszych. Może byłoby też lepiej brać "splines with tension" lub
"monotonic splines" - ale to nie na teraz.

Na marginesie, co do wzorków - gdybym dajmy na to chciał użyć 20 stopnia -
to ja to robię np. tak:

HornerForm[Integrate[InterpolatingPolynomial[Table[{
j, y[j]}, {j, 0,
20-1}], x] // ExpandAll, {x, a, b}]]

slawek

do góry

On 27 Lip, 20:54, "Mariusz Marszałkowski"
<b...@N...gazeta.pl> wrote:
> Wit Jakuczun <w...@g...com> napisał(a):
>
> > Dalej aktualne jest pytanie o to co rozumiesz pod poj=EAciem
> > najlepszej metody ca=B3kowania? Przedstawione wyniki, nie broni=B1
> > Twojej tezy, =BFe metoda oparta o splajny jest du=BFo lepsza od trapez=F3w.
>
> Jakie w ogóle stosuje się kryteria oceny metod całkowania?
>
Jest cała teoria mówiąca o porówynwaniu metod całkowania (i nie
tylko).
Polscy matematycy stanowią istotny wkład w jej rozwój: prof. Henryk
Woźniakowski,
dr hab. Leszek Plaskota).
Teoria odpowiada na pytania: jaki jest najlepszy algorytm do
rozwiązanai danego
problemu (dany problem = całkowianie, aproksymacja, itp.).
Na stronie http://www.mimuw.edu.pl/~leszekp/research/pub.html
znajdziesz
listę publikacji Pana Plaskoty.

Pozdrawiam,
Wit Jakuczun

do góry

On 27 Lip, 21:09, Wit Jakuczun <w...@g...com> wrote:
> On 27 Lip, 20:54, "Mariusz Marszałkowski"<b...@N...gazeta.pl> wrote:
> > Wit Jakuczun <w...@g...com> napisał(a):
>
> > > Dalej aktualne jest pytanie o to co rozumiesz pod poj=EAciem
> > > najlepszej metody ca=B3kowania? Przedstawione wyniki, nie broni=B1
> > > Twojej tezy, =BFe metoda oparta o splajny jest du=BFo lepsza od trapez=F3w.
>
> > Jakie w ogóle stosuje się kryteria oceny metod całkowania?

> Na stroniehttp://www.mimuw.edu.pl/~leszekp/research/pub
.html
> znajdziesz
> listę publikacji Pana Plaskoty.
>

A tu masz publikacja Pana Woźniakowskiego:
http://www1.cs.columbia.edu/~henryk/html/publication
s.html

Pozdrawiam,
Wit Jakuczun

do góry

On 27 Lip, 21:01, "slawek" <s...@h...pl> wrote:
> Użytkownik "Wit Jakuczun" <w...@g...com> napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:00ba01a3-f5a9-43b7-ac26-5e27616b7...@b1
4g2000yqd.googlegroups.com...
>
> > Dalej aktualne jest pytanie o to co rozumiesz pod pojęciem
> > najlepszej metody całkowania? Przedstawione wyniki, nie bronią
> > Twojej tezy, że metoda oparta o splajny jest dużo lepsza od trapezów.
>
> Jest bo jest.
Aaaa, no to już rozumiem.


Z poważaniem,
Wit Jakuczun

do góry

Użytkownik "Mariusz Marszałkowski" <b...@N...gazeta.pl> napisał w
wiadomości grup dyskusyjnych:h4kt57$sc$...@i...gazeta.pl...
> Jakie w ogóle stosuje się kryteria oceny metod całkowania?

Bardzo dobre pytanie!

Ja założyłem coś mniej więcej takiego:

1. Kwadratury numeryczne muszą zgadzać się z całkami liczonymi analitycznie
(jak się da to sprawdzić);

2. Jeżeli potrafię wskazać, że wyniki będą za małe/za duże przez same
poogladanie algorytmu (istnieją systematyczne błędy) - to nie jest to dobra
metoda;

3. Wraz ze wzrostem nakładów na obliczenia (czas, pamięć, liczba równolegle
pracujących CPU, wzrost precyzji) powinna rosnąć dokładność;

4. Jeżeli mamy 2 metody i obie dają dla kroków h1, h2 wyniki takie same, nie
zmieniające się już przy dalszej redukcji kroków, ale h1 >> h2 ....

... to metoda 1 jest lepsza, bo daje to samo co metoda 2 - ale mniejszym
nakładem pracy, szybciej, zużywając mniej lasów tropikalnych etc.

slawek

do góry

Użytkownik "Wit Jakuczun" <w...@g...com> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:9b757e05-a198-4caf-8920-b1949303af40@k3
0g2000yqf.googlegroups.com...
> Na stronie http://www.mimuw.edu.pl/~leszekp/research/pub.html
> znajdziesz
> listę publikacji Pana Plaskoty.

Trzeba będzie przeczytać.

slawek

do góry

Wit Jakuczun <w...@g...com> napisał(a):
> A tu masz publikacja Pana Wo=BCniakowskiego:
> http://www1.cs.columbia.edu/~henryk/html/publication
s.html

Ok, dziękuję.

--
Wysłano z serwisu Usenet w portalu Gazeta.pl -> http://www.gazeta.pl/usenet/

do góry

Użytkownik "Wit Jakuczun" <w...@g...com> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:ab16aec8-2ca2-4c47-b6aa-6bbfcc6ab86c@k1
9g2000yqn.googlegroups.com...
> Aaaa, no to już rozumiem.

Gdyby nie swoiste NDA to pokazałbym wyniki. Ostatecznie - nie musisz wierzyć
(facetowi przebranemu za mnie). :)

slawek

do góry

On 27 Lip, 21:01, "slawek" <s...@h...pl> wrote:

> Wszelkie metody w których całkę liczy się jako sumę wartości y[i]*w[i],
> gdzie w[i] to jakieś wagi - cierpi na prostą chorobę. Weźmy taką metodę
> gdzie i ma przebiegać od 1 do 8. Czyli bierzemy osiem punktów kolejnych. No
> a potem co? Łącznie mamy powiedzmy 8007 punktów. Czyli metodę 8-punktową
> można zastosować np. tak, że najpierw 1000 razy ją zastosować, a potem np.
> metodę 7-punktową. Albo najpierw 7-punktową, a potem 8-punktową. Albo np.
> najpierw 3-punktową, potem 2-punktową, potem 500 razy 8-punktową, potem
> jeszcze raz 2-punktową, i wreszcie 500 razy 8-punktową. Teoretycznie
> najdokładniejsza byłoby uśrednienie wszystkiego - a to prowadzi do... wzoru
> trapezów. Czyli nie ma innych metod - niż metoda trapezów - jeżeli idzie się
> drogą 3/8, Boole itd. Nota bene,

Tan pan delikatnie mija sie z prawda.
Nie jest prawda, ze usrednianie zawsze prowadzi do lepszych wynikow.
Mamy przyblizenie A i B dokladnej wartosci C. Niech A-C~10^-8
i B-C=10^-4;

(A+B)/2 -C ~ 10^4... ze tez na powaznej grupie trzeba to pisac:[

pozdr
bartekltg

do góry

On 27 Lip, 21:21, "slawek" <s...@h...pl> wrote:
> Użytkownik "Wit Jakuczun" <w...@g...com> napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:9b757e05-a198-4caf-8920-b1949303a...@k3
0g2000yqf.googlegroups.com...
>
> > Na stroniehttp://www.mimuw.edu.pl/~leszekp/research/pub
.html
> > znajdziesz
> > listę publikacji Pana Plaskoty.
>
> Trzeba będzie przeczytać.
>
> slawek
Zdajesz sobie sprawę, że lektura tych tekstów wymaga znajomości
wyższej matematyki?

Z poważaniem,
Wit Jakuczun

do góry