eGospodarka.pl
eGospodarka.pl poleca

eGospodarka.plGrupypl.comp.programmingCałkowanie numeryczne - reaktywacjaRe: Całkowanie numeryczne - reaktywacja
  • Path: news-archive.icm.edu.pl!newsfeed.gazeta.pl!newsfeed.neostrada.pl!nemesis.news.n
    eostrada.pl!atlantis.news.neostrada.pl!news.neostrada.pl!not-for-mail
    From: "slawek" <s...@h...pl>
    Newsgroups: pl.comp.programming
    Subject: Re: Całkowanie numeryczne - reaktywacja
    Date: Mon, 27 Jul 2009 21:01:14 +0200
    Organization: TP - http://www.tp.pl/
    Lines: 62
    Message-ID: <h4ktlv$lbi$1@atlantis.news.neostrada.pl>
    References: <h4eu8v$e00$1@nemesis.news.neostrada.pl>
    <0...@b...googlegroups.com>
    NNTP-Posting-Host: 62.69.219.25
    Mime-Version: 1.0
    Content-Type: text/plain; format=flowed; charset="iso-8859-2"; reply-type=original
    Content-Transfer-Encoding: 8bit
    X-Trace: atlantis.news.neostrada.pl 1248721407 21874 62.69.219.25 (27 Jul 2009
    19:03:27 GMT)
    X-Complaints-To: u...@n...neostrada.pl
    NNTP-Posting-Date: Mon, 27 Jul 2009 19:03:27 +0000 (UTC)
    In-Reply-To: <0...@b...googlegroups.com>
    X-Priority: 3
    X-MSMail-Priority: Normal
    Importance: Normal
    X-Newsreader: Microsoft Windows Live Mail 14.0.8064.206
    X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V14.0.8064.206
    Xref: news-archive.icm.edu.pl pl.comp.programming:182840
    [ ukryj nagłówki ]



    Użytkownik "Wit Jakuczun" <w...@g...com> napisał w wiadomości grup
    dyskusyjnych:00ba01a3-f5a9-43b7-ac26-5e27616b7e19@b1
    4g2000yqd.googlegroups.com...
    > Dalej aktualne jest pytanie o to co rozumiesz pod pojęciem
    > najlepszej metody całkowania? Przedstawione wyniki, nie bronią
    > Twojej tezy, że metoda oparta o splajny jest dużo lepsza od trapezów.

    Jest bo jest. Jest dużo lepsza, tzn. w konkretnym zastosowaniu okazała się
    dużo lepsza.

    Dlaczego? Ano dlatego że trapezy *zawsze* dają nieco mniej dla wypukłych i
    trochę więcej dla wklęsłych. Jeżeli kolejny punkt y[k+1] zależy od całki z
    poprzednich i na początku jest zawsze funkcja wypukła (bo już tak ona ma),
    to trapezy *zawsze* zaniżą wartość całki ergo zaniżą y[k+1] ergo całka dla
    y[k+2] będzie jeszcze bardziej malutka. Po prostu trapezy wprowadzają błąd
    systematycznie - naginając rozwiązanie w jedną stronę.

    Wszelkie metody w których całkę liczy się jako sumę wartości y[i]*w[i],
    gdzie w[i] to jakieś wagi - cierpi na prostą chorobę. Weźmy taką metodę
    gdzie i ma przebiegać od 1 do 8. Czyli bierzemy osiem punktów kolejnych. No
    a potem co? Łącznie mamy powiedzmy 8007 punktów. Czyli metodę 8-punktową
    można zastosować np. tak, że najpierw 1000 razy ją zastosować, a potem np.
    metodę 7-punktową. Albo najpierw 7-punktową, a potem 8-punktową. Albo np.
    najpierw 3-punktową, potem 2-punktową, potem 500 razy 8-punktową, potem
    jeszcze raz 2-punktową, i wreszcie 500 razy 8-punktową. Teoretycznie
    najdokładniejsza byłoby uśrednienie wszystkiego - a to prowadzi do... wzoru
    trapezów. Czyli nie ma innych metod - niż metoda trapezów - jeżeli idzie się
    drogą 3/8, Boole itd. Nota bene,

    Całkowanie według Romberga ewentualnie mogłoby pomóc - tak jak pisałem,
    jeżeli błąd jest rzędu O(h^n) to wystarczą trzy oszacowania dla h1,h2,h3 -
    aby ekstrapolować do h->0 bez wcześniejszej znajomości n. Ale to tylko
    rodzaj akceleracji zbieżności - a nie metoda sama-w-sobie.

    Spliny (kubiczne) powinny dawać lepsze rezultaty na tej prostej zasadzie iż
    w wielu konkretnych problemach całkowana funkcja musi być "trochę ciągła i w
    miarę gładka". Dla przykładu prędkość. Pochodna prędkości po czasie to
    przyspieszenie, a to równa się (w uproszczeniu) sile przez masę. Skoro
    zawsze istnieje /jakieś/ skończone przyspieszenie, to znaczy że istnieje
    pochodna prędkości, to znaczy że prędkość musi być funkcją ciągłą itd.
    Aproksymowanie prędkości łamaną już "na dzień dobry" oszukuje co do wartości
    pochodnej w węzłach. Natomiast spliny dają ładne i proste wzory i na
    pochodne, i ładny prosty wzór na całkę. W modzie są chyba teraz spliny
    stopnia piątego - niestety nigdzie nie znalazłem jakiegoś prostego
    algorytmu, ale też i krótko szukałem. Pomijam pppack, fajny jest, używałem,
    ale nie mam siły teraz - lato! - wgłębiać się w to znowu.

    Trochę czuję się winnym że biorę naturalne spliny zamiast jakiś
    mądrzejszych. Może byłoby też lepiej brać "splines with tension" lub
    "monotonic splines" - ale to nie na teraz.

    Na marginesie, co do wzorków - gdybym dajmy na to chciał użyć 20 stopnia -
    to ja to robię np. tak:

    HornerForm[Integrate[InterpolatingPolynomial[Table[{
    j, y[j]}, {j, 0,
    20-1}], x] // ExpandAll, {x, a, b}]]

    slawek



Podziel się

Poleć ten post znajomemu poleć

Wydrukuj ten post drukuj


Następne wpisy z tego wątku

Najnowsze wątki z tej grupy


Najnowsze wątki

Szukaj w grupach

Eksperci egospodarka.pl

1 1 1

Wpisz nazwę miasta, dla którego chcesz znaleźć jednostkę ZUS.

Wzory dokumentów

Bezpłatne wzory dokumentów i formularzy.
Wyszukaj i pobierz za darmo: