On 29.07.2014 20:25, Borneq wrote:
> W dniu 2014-07-29 18:56, bartekltg pisze:
>> wgryzę się głębiej. Na razie odpłynąłem w próbę zrozumienia,
>> dlaczego funkcje wymierne dają tak znacznie lepsze wyniki
>> niż wielomiany:).
>
> O ile lepsze? Jak dużo stopień wielomianu musi być wyższy dla wielomianu
> niż dla wyrażenia wymiernego?


W wersji z logarytmem wyniki były takie.
rząd licznika, rząd mianownika, błąd maksymalny

13 0 4.4669e-12
12 1 2.6577e-14
11 2 7.4195e-16
10 3 5.5135e-17
9 4 8.7641e-18
8 5 2.6887e-18
7 6 1.5005e-18
6 7 1.4947e-18
5 8 2.6568e-18
4 9 8.5841e-18
3 10 5.3464e-17
2 11 7.1071e-16
1 12 2.5028e-14
0 13 4.072e-12

Nie zawsze jest aż tak wyraźnie lepsza. W przypadku
logarytmu mamy bardzo niedaleko przedziału [0.5,1]
biegun, stąd miałaby pochodzić przewaga f wymiernych.

http://mathoverflow.net/questions/122539/the-unreaso
nable-effectiveness-of-pade-approximation
[tam też odnośćnik do większego pdfa]

To dalej nie jest aproksymacja w normie |.|_inf na przedziale,
tylko szereg. Coś więcej mam, ale na innym kompie, ale chyba
wiele nie dokładniejszego.


> Gdy mamy możliwość wykonania tego w sposób równoległy, to być może
> opłaca się wielomian wyższego stopnia, choćby stopień był bardzo wysoki,
> zamiast dzielenia.

W jakim sensie równolegle? Pogadać między procesorami raczej nie
zdążysz;)
Większy stopień to też najczęściej gorsze uwarunkowanie.

> Tylko obecnie nie ma możliwości wykonania Hornera równoległe, gdy mamy
> kilka rdzeni, to zrównoleglenie polega ma wykonaniu wątków na kilku
> rdzeniach, a nie można krótkiej operacji rozdzielać. Może komputery
> przyszłości będą miały coś w rodzaju wbudowanego koprocesora FPGA, który
> będzie mógł równolegle wykonywać operacje?

Wtedy to dowolny (w granicach rozsądku) wielomian policzę sobie
w czasie log_2 (n) ;-)

> Do czego dziś mogą się przydać procedury Czebyszewa i Remeza? Może do

Do tego samego, co 100 lat temu - do wyznaczania optymalnej sensie
normy max aproksymacji wielomianem danej funkcji.

A czy coś takiego jest Ci potrzebne, to już zależy od tego, co robisz.
Nie jest to coś, co każdy używa. Choć Remez wystąpił na matematyce
obliczeniowej (odpowiednik metod numerycznych na matematyce) u mnie.

pzdr
bartekltg