Mariusz Marszałkowski wrote:
> slawek <s...@h...pl> napisał(a):
>
>> Użytkownik "A.L." <a...@a...com> napisał w wiadomości grup
>> dyskusyjnych:1ha4551u4tbnlo02cjmpjbbp07vgn3hilm@4ax.
com...
>>> W tym problem ze chyba nie byles na zadznych studiach...
>> Chyba jestem w KF u A.L. (co samo w sobie prawie jak Nobel :) ), ale nie
>> mogę sie powstrzymać od komentarza:
>
> Spokojnie z emocjami. Nie wiem dlaczego Pan A.L. interesuje się tym czy
> byłem na jakiś studiach, może chce mi polecić jakiś sposób doedukowania się,
> naprawdę nie wiem o co chodzi. Nie mam powodów do wyciągania żadnych
> negatywnych wniosków, wręcz przeciwnie.
>
> Pan Mateusz Ludwin od jakiegoś czasu nie czytając moich postów (albo ich
> nie rozumie, ale dziwne że wszystkich) wciąż nawiązuje do mojego
> niedostatecznego wykształcenia. Dziwne jak na wykształconego człowieka.
> Dziwne jest także to, że jako wykształcony człowiek nie odpisuje nic
> wnoszącego do dyskusji. Ale zapewne nam to wyjaśni.

Ja się nie interesuję wykształceniem, tylko zakładam że jeśli ktoś pisze że
całka to pole pod wykresem to najwyraźniej nie ma o tym pojęcia bo zwyczajnie
nie studiował analizy matematycznej. A jako taki NIE POWINIEN DORADZAĆ w tym
temacie.
--
Mateusz Ludwin mateuszl [at] gmail [dot] com

do góry

slawek wrote:

> Chyba jestem w KF u A.L. (co samo w sobie prawie jak Nobel :) ), ale
> nie mogę sie powstrzymać od komentarza:
>
> czy gdyby przedmówca A.L. odparł mu że owszem, skończył grekę
> klasyczną, archeologię, eksternistycznie prawo a ponad to doktorat z
> filozofii i trzeci stopień mistrzowski w karate - to jaki miałoby to
> wpływ na dalszą dyskusję? Zero wiedzy o całkach. A warunek "bycia na
> studiach" - spełniony byłby jak najbardziej! Cóż, ani Indiana Jones ani
> Lara C. nie są godnymi dyskusji z A.L. :)

Jakbyś śmieszny miśku WIEDZIAŁ na czym polega całkowanie względem miary, to od
razu magicznie wyjaśniłoby ci się że MOŻNA całkować funkcję typu

x|1|2|3|4
------------
y|4|3|4|3

Rozumiesz już po co pytamy o studia i o całkę Lebesgue'a?
--
Mateusz Ludwin mateuszl [at] gmail [dot] com

do góry

On 7 Lip, 07:34, "slawek" <s...@h...pl> wrote:
> Użytkownik "bartekltg" <b...@g...com> napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:3f12f484-c177-4105-bda6-f8159c354...@a3
6g2000yqc.googlegroups.com...
>
> > Z jednaj strony zachwalasz splajny, ze sa podobne do funkcji, z
> > drugiej strony to.
>
> Funkcje sklejane są całkiem niezłe - problem w tym, że być może istniej

Udowodniłbyś. I grupa skorzysta. Na razie pamietamy wszyscy, ze
interpolacja
w zadanych wezlach wielomianami wybiera najlepszy wielomian w normie
max,
a splajny w normie L_2. Stad jeszcze nic o wlasnosciach kwadratur nie
wynika.

> lepsze podejście. Lepsze niż "splajny". Po prostu owe funkcje sklejane to
> wyjściowy poziom - jeżeli ktoś może wskazać lepszą metodę - to bardzo się
> ucieszę.

Dalej uwazam, ze zwykla kwadratury.

> > Trapezy, sipmson, czy podobne kwadratury wyzszych, to kwadratury
> > interpolacyjne.
>
> Wszystkie te tzw. kwadratury służyły (i służą) do rozwiązania odmiennego
> zagadnienia: mamy przedział (a,b), pewną znaną funkcję f(x) i chcemy
> obliczyć całkę oznaczoną - a każde obliczenie f(x) - czyli call f(x) -
> kosztuje dużo. Na dzień dobry nie mamy nic - dopiero będziemy obliczali
> wartości funkcji f(x) gdy to będzie potrzebne.
>
> Tymczasem problem jaki należy rozwiązać jest: mamy pewien przedział (a,b),
> mamy JUŻ OBLICZONE wartości f(x) i to w 10000 punktów; ale nie dostaniemy
> ani jednego punktu więcej; chcemy obliczyć całkę. Jak widać nie ma sensu
> zastanawiać się dla jakich x policzyć f(x).

Prosze, skup sie. Liczac te kwadratury wybieramy wezly->obliczamy
wartosci
->(dopasowyjemy wielomian)-> obliczamy kwadrature.
[punkt w nawiasie jest tylko teoretycznie]

Tutaj masz juz wykonane dwa pierwsze kroki. Masz dane. Uzywamy
kwadratury
parabol czy jakiesj innej i z glowy. sumujemy z odpowiednimi
wspolczynnikami
wartosci w tabelce. To wszystko.


> > rzedu da znacznie lepszy wynik*). A to, ze roznica miedzy tym, a
> > trapezami jest taka,
> > ze co drugi wezel bierzemy z dwa razy wieksza waga niz inne.. jak
> > popatrzysz
> > na calke z paraboli to nawet nie jest takie zaskakujace.
>
> Zaskakujące będzie więc dla ciebie jak zobaczysz co stanie się z twoim
> pięknym wzorem gdy dodasz 1 punkt na początku - wagi 2 przyjmą akurat te
> punkty które miały wagi 1. Uśrednienie wszystkich  wzorów tego rodzaju da

Po pierwsze jednego nie dodasz, dla parabol musisz dodac 2, dla
simpspona 3.
Zalozmy, ze dodajemy po prawej i lewej po punkcie. Wspolczynniki sie
zamieniaja.
I co z tego. I tak obie wartosci, ciut rozne, (druga po odjeciu calki
z brzegow) sa
dokladniejsze(!) od przyblizania calki metoda trapezow.


> wagi jednakowe - czyli powrót do wz. trapezów. Ten efekt jest opisany w
> lekturze tak popularnej jak Teukolski et al. "Numerical Recipes".

Ale to usrednianie psuje nam wszystko! To, ze masz nierownomierne
wagi uwzglednia nam poprawki od pochodnych.
Taka kwadratura parabol to kwadratura trapezow + poprawka wynikajaca
z 'wypuklosci'. Usredniajac to spowrotem dostajesz trapezy - tracisz
aproksymowana informacje f'.


> > Simpsona mozesz smialo dawac. Albo wielomany 3 rzedu. Blad taki sam,
> > a prostrze niz splajny.
>
> Bynajmniej. Gołym okiem - wydaje się że to to samo. Jednak te "prostsze"
> dawały niestabilne rezultaty - przeciwnie niż funkcje sklejane. To wszystko

Wyzej masz powiedziane, to nieprawda. Twoja niestabilnosc i tak lezy
ponizej
bledu metody.

> było testowane. Ale oczywiście - być może jest coś jeszcze lepszego - chodzi
> o znalezienie algorytmu "state of art". Czy zastosowanie funkcji
> sklejanych - ściślej, wielomianowych funkcji sklejanych - jest nie do
> poprawienia - tzn. czy nie da się lepiej? To jest właśnie pytanie, na które
> szukam odpowiedzi.

Ciezko mi powiedziec, co juz masz a algorytmie. Z kwestii
technicznych,
dla splajnow niezbyt wysokiego rzedu da sie ta macierz rozwiazywc w
czasie
liniowym (dla kubicznych mamy macierz trojdiagonalna, algorytm jest
szeroko
znany i prosty.. tyle, ze tu cokolwiek ponad parabole da lepszy
wynik).

Notatek nie chce mi sie szukac, jak to dawno temu robilem, ale pewnei
taz w
jakijes czesci da sie ominac wyrazanie wprost wspolczynnikow splajnow
(w jakiejs bazie) i prosto z wartosci w wezlach dostawac calke.

Inny algorytm mozna by zaproponowac, jakbys podal wiecej informacji
o ten funkcji. Moze podczas obliczen jakos dostajesz pochodne..


> > Jesli mozesz uzyskac liczbe punktow postaci 2^n, a funkcja jest
> > gladka,
> > to zdecydowanie romberg - algorytm jakby stworzony do Twojego
> > zagadnienia,
> > mamy tabelke rownooddalonych punktow i szacujemy calke.
>
> Liczba punktów zmienia się w trakcie obliczeń. Jedyną sensowną rzeczą jaką
> można próbować zrobić to ekstrapolacja do nieskończenie małego kroku, np.
> metodą Aitkena.
?


> Jeszcze raz - gdy napisałem że metoda Romberga nie jest
> odpowiednia - to nie dlatego że coś tam - ale dlatego że zostało to
> sprawdzone. Takie kwadratury jak Romberga zakładają że możesz w każdej
> chwili obliczyć dla danego x wartość f(x).  W tym przypadku - to nieprawda.

Nieprawda. Moge najpierw policzyc n punktow, a pozniej zastosowac
jakas
procedure calkowania!

> Nie możesz obliczyć f(x), masz dane wartości x[1],...,x[n] oraz
> y[1],...,y[n]. Oczywiście metodę Romberga można zastosować do funkcji
> interpolującej - ale dla takiej funkcji łatwiej i szybciej policzyć całkę

Ale po co? Jedyne zadanie, jakie przed Toba stoi to zwiac taka
kwadrature,
aby jej wezly pokrywalty sie z x[k]. No, chyba, ze x[k] nie sa rozno
oddalone,
ale o to sie pytalem w pierwszym poscie;p


Jesli tak, to nadal wydaje mi sie, ze kwadratury oparte o interpolacje
wielomianowa,
przy tej samej zalozonej gladkosci funkcji, beda sie sprawowac
lepiej.
Tylko tam wezly moga byc dobrane nieszczesliwie.

Czy wartosci y[k] sa znane dokladnie, czy obliczane z bledem?

pozdr
bartekltg

do góry

On 7 Lip, 07:34, "slawek" <s...@h...pl> wrote:

> y[1],...,y[n]. Oczywiście metodę Romberga można zastosować do funkcji
> interpolującej - ale dla takiej funkcji łatwiej i szybciej policzyć całkę
> analitycznie (np. gdy interpolacja wielomianem).

Jeszcze inaczej:
No wlasnie! na tym polegaja nasze kwadratury interpolacyjne.
Bierzemy wielomian/funkcje sklajana, dopasowujemy do wartosci
w wybranych wezlach i liczymy scisle calke.

Kwadratura parabol bierze trzy punkty, (0,1,2) dopasowyje tam
parabole,
po czym z jej wspolczynnikow okresla 'pole pod parabolą'. Nastepnie
bierze kolejne dwa przedziały/trzy punkty (2,3,4)..
Jadnak pracujac chwile na kartce papieru mozna zrobic to samo
nie wyliczajac wprost wspolczynnikow paraboli, ale od razu napisac
wzorek wiazacy trzy punkty z _calką pod parabolą interpolujaca te
punkty_.

Podobnie simpson interpoluje na kazdych polejnych trzech przedialach
(4 punkty) wielomian 3 stopnia i wylica calke tego wialomianu.


Jesli odleglosci meidzy wezlami nie sa stale, romberg rzeczywiscei
odpada,
ale kadratury interpolacyjne (wialomianowe, o splajnach juz wiesz jak
to zrobic)
nadal dzialaja. Bierzesz jakas ladna baze, najlepiej lagrange'a
('kanoniczna')
i nia interpolujesz.

Przypomne, ze jesli mamy funkcja f, L_i to baza lagrangea oparta na
wezlach x_j,
to wielomianem interpolacyjnym funkcji f jest po prostu
ff= \sum f(x_i) *L_i

Calke takiego wielomianu mozemy zapisac \int ff= \int \sum f(x_i)
*L_i =
= \sum f(x_i) \int L_i

L_i(x) = (x-x_1)..(x-x_{i-1})*(x-x_{i+1})(x-x_n) /[ (x_i-x_1)..(x_i-x_
{i-1})*(x_i-x_{i+1})(x_i-x_n) ]
calke z tego wyrazenia w granicach x1-xn jestes w stanie policzyc
analitycznie i wstawic
w praogram (jaklo funkcje x_1..x_n). Dla przyzwoitych wezlow powinne
byc wszystkie
dodatnie (ma to pewne znaczenie dla stabilnosci numerycznej). n rzedu
2-10.

Bedzie to na pewno szybsze niz splajny dla duzej liczby punktow.
Mowiles, ze punktow
przybywa. Tutaj poprawiasz jedynie ostatni fragment, dla splajnow
musisz
poprawci wszystkie m(10 000) punktow.

Tylko uwaga, aproksymujac wielomianem stopnia n-1 potrzebujesz n
punktow, czyli
n-1 nowych punktow. Teraz juz Twoj wybor, czy uaktialniac calke tylko,
gdy ich tyle
przybedzie, czy ostatni fragment przyblizac inaczej (wielomianem
mniejszego stopnia
[lepsze wlasnosci] czy wrecz kilkoma - nawet trapezami[najgorsze, dla
niewielkeigo m
i duzego n mozesz wrecz widziac na wykresie poprawke]).

pozdr
bartekltg

do góry

Użytkownik "Mateusz Ludwin" <n...@s...org> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:h2v6ht$sk7$...@i...gazeta.pl...
> Chyba na turystyce i gastronomii skoro wypisujesz takie idiotyzmy jak
> wyżej.
> --
> Mateusz Ludwin mateuszl [at] gmail [dot] com

Ostrzegam - jest upał i sezon urlopowy - obrażanie magistrów od turystyki i
doktorantek od gara nie jest czymś, co według Darwina służy twoim genom.

:)

slawek

do góry

Użytkownik "Mateusz Ludwin" <n...@s...org> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:h2v6jr$sk7$...@i...gazeta.pl...
> Ja się nie interesuję wykształceniem, tylko zakładam że jeśli ktoś pisze
> że całka to pole pod wykresem to najwyraźniej nie ma o tym pojęcia bo
> zwyczajnie nie studiował analizy matematycznej. A jako taki NIE POWINIEN
> DORADZAĆ w tym temacie.

Swego czasu był w Delcie świetny tekst o całkach pt. "Kłopoty sprzedawców
złotej folii" (czy podobnym). :)

Więc jak sie uprzeć, to całka jest nawet ciężarem papierka jak pobawimy się
w wycinanki.

slawek

do góry

Użytkownik "Mateusz Ludwin" <n...@s...org> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:h2v6u9$sk7$...@i...gazeta.pl...
> Jakbyś śmieszny miśku WIEDZIAŁ na czym polega całkowanie względem miary,
> to od razu magicznie wyjaśniłoby ci się że MOŻNA całkować funkcję typu

Jak do tej pory NIC merytorycznego nie wniosłeś w wątek - poza
przypomnieniem że jest miara Lebesgue. No i jest. I co z tego wynika dla
problemu? Przypominam, iż wektory x oraz y modelują pewną fizyczną zależność
od czasu. Zsamplowanie funkcji w 10000 punktach nijak nie mówi co jest
pomiędzy punktami. Zacznij używać mózgu - a nie inwektyw.

slawek


P.S.

Jakbyś był osłem, wielbłądem czy po prostu krecikiem... to byś nie plótł
kretynizmów - bo wymienione zwierzaczki po prostu po ludzku ani mówią, ani
piszą. Jak wiesz uwielbiam trollować. Uwielbiam. Uwiellbiiiammmm.

Po co zaczynasz - jestem na odwyku. Taki nie-trollujący troll. Już chyba
tydzień mi się udawało! A ty mnie zmuszasz abym wygóglał całe królestwo
zwierząt i ci do mailboxa wysłał...
:)

slawek

do góry

slawek wrote:
>
>
> Użytkownik "Mateusz Ludwin" <n...@s...org> napisał w wiadomości grup
> dyskusyjnych:h2v6u9$sk7$...@i...gazeta.pl...
>> Jakbyś śmieszny miśku WIEDZIAŁ na czym polega całkowanie względem
>> miary, to od razu magicznie wyjaśniłoby ci się że MOŻNA całkować
>> funkcję typu
>
> Jak do tej pory NIC merytorycznego nie wniosłeś w wątek - poza
> przypomnieniem że jest miara Lebesgue. No i jest. I co z tego wynika dla
> problemu? Przypominam, iż wektory x oraz y modelują pewną fizyczną
> zależność od czasu. Zsamplowanie funkcji w 10000 punktach nijak nie mówi
> co jest pomiędzy punktami. Zacznij używać mózgu - a nie inwektyw.

To jest po prostu żenujące :/

Człowieku, nie masz zielonego pojęcia o czym mowa, nie rozumiesz czym jest całka
określona za pomocą miary (gdzie NIC NIE BRONI ŻEBY PRZEDZIAŁÓW BYŁA SKOŃCZONA
ILOŚĆ), ale musisz sobie koniecznie pobełkotać. Po co?
--
Mateusz Ludwin mateuszl [at] gmail [dot] com

do góry

On Tue, 07 Jul 2009 14:53:52 +0200, Mateusz Ludwin <n...@s...org>
wrote:

>slawek wrote:
>>
>>
>> Użytkownik "Mateusz Ludwin" <n...@s...org> napisał w wiadomości grup
>> dyskusyjnych:h2v6u9$sk7$...@i...gazeta.pl...
>>> Jakbyś śmieszny miśku WIEDZIAŁ na czym polega całkowanie względem
>>> miary, to od razu magicznie wyjaśniłoby ci się że MOŻNA całkować
>>> funkcję typu
>>
>> Jak do tej pory NIC merytorycznego nie wniosłeś w wątek - poza
>> przypomnieniem że jest miara Lebesgue. No i jest. I co z tego wynika dla
>> problemu? Przypominam, iż wektory x oraz y modelują pewną fizyczną
>> zależność od czasu. Zsamplowanie funkcji w 10000 punktach nijak nie mówi
>> co jest pomiędzy punktami. Zacznij używać mózgu - a nie inwektyw.
>
>To jest po prostu żenujące :/
>
>Człowieku, nie masz zielonego pojęcia o czym mowa, nie rozumiesz czym jest całka
>określona za pomocą miary (gdzie NIC NIE BRONI ŻEBY PRZEDZIAŁÓW BYŁA SKOŃCZONA
>ILOŚĆ), ale musisz sobie koniecznie pobełkotać. Po co?

Przepraszam ze tu odpowiadam, ale slawek seidzi u mnie w KF

"Zsamplowanie funkcji w 10000 punktach nijak nie mówi
co jest pomiędzy punktami. Zacznij używać mózgu - a nie inwektyw".

Znaczy, Panei Slawek, ze ani odtwarzacz CD, ani Panski ulubiony iPod
nei maja prawa dzialac. One wlasnei pzrechowuja muzyke "zsamplowana" w
w wielu punktach, a poniewaz te wartosci nic nie mowia o wartosciach
pomiecy probkami, Panski CD jest prawdopodobnie gluchy jak pien. Moj
CD wie co jest meidzy punktami,. albowiem sluszal o twierdzeniu
Shannona-Kotielnikowa i wie co robic.

A.L.

do góry

Użytkownik "bartekltg" <b...@g...com> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:98a4aeba-51da-4e56-8f7f-edbf2e3788bf@c1
g2000yqi.googlegroups.com...
> a splajny w normie L_2. Stad jeszcze nic o wlasnosciach kwadratur nie
> wynika.

Zgoda. Ale całki te nie są ważne same w sobie - lecz jako funkcjonały
określone na funkcjach. Jeżeli biorę funkcje gładkosklejane to te funkcje
znacznie lepiej modelują przebieg funkcji jakie występują w modelu
matematycznym danego zjawiska przyrodniczego. Mając potem takie spline'y
mogę nie bać się liczyć pochodnych itd. itp.

> Tutaj masz juz wykonane dwa pierwsze kroki. Masz dane. Uzywamy
> kwadratury
> parabol czy jakiesj innej i z glowy. sumujemy z odpowiednimi
> wspolczynnikami
> wartosci w tabelce. To wszystko.

Teoretycznie tak. W praktyce - weź sobie metodę która łyka na raz 23 węzły
(dlaczego tyle? nieważne, to tylko przykład). Podziel sobie 10000 punktów w
następujące sposoby:
23+23+..., 1+23+23+..., 2+23+23+...,...,22+23+23+... (oczywiście, dla
punktów na początku i na końcu jakoś trzeba dać sobie radę - ale tego będzie
mniej więcej 50 punktów na 10000 czyli 0.5%). Uśrednij te wszystkie wyniki.
Co ci wyjdzie? Surprise, surprise - wzór trapezów (z małymi zwichrowaniami
na końcach, ale to 0.5% przypadków, do olania).

Trochę to śmieszne. Ale robienie tych wszystkich tabelek i współczynników
nie ma sensu.

Natomiast dla spline'ów wrzucasz całą krzywą na raz do procedury (wysłałem
ją do wątku, więc możesz ją sobie przetestować, to uproszczony wariant dla
kubicznych i jeszcze końcówki jakieś byle jakie - tego rodzaju spline jest
niejednoznaczny bez założeń o pochodnej na początku i końcu).

W zasadzie dla wielomianu n-tego stopnia przechodzącego przez n punktów -
też tak jest. Cała krzywa idzie od razu. Ale wielomian stopnia 10 tysięcy?
Brrr... to nie zadziała.

> Po pierwsze jednego nie dodasz, dla parabol musisz dodac 2, dla
> simpspona 3.

Tak, po prostu dodajesz po jednym punkcie - i patrzysz jak wzór ślizga się
po sobie.

> I co z tego. I tak obie wartosci, ciut rozne, (druga po odjeciu calki
> z brzegow) sa
> dokladniejsze(!) od przyblizania calki metoda trapezow.

Spline jest dokładniejszy. Sprawdzone - połowienie kroku całkowania daje
wartości szybciej zbieżne.

> z 'wypuklosci'. Usredniajac to spowrotem dostajesz trapezy - tracisz
> aproksymowana informacje f'.

Im więcej uśredniania, tym mniej arbitralny jest wynik.

> Wyzej masz powiedziane, to nieprawda. Twoja niestabilnosc i tak lezy

Oj, nie widziałeś, nie liczyłeś... a wiesz. Weź sobie policz sam i zobacz,
np. na funkcji Exp[-0.01]*Sin[x]. Albo licząc pole okręgu. Co będzie
dokładniejsze?

> liniowym (dla kubicznych mamy macierz trojdiagonalna, algorytm jest

Łoczywiście. Vide procedurka jaką posłałem do wątku (krótka była, więc
wysłałem).

> Notatek nie chce mi sie szukac, jak to dawno temu robilem, ale pewnei
> taz w
> jakijes czesci da sie ominac wyrazanie wprost wspolczynnikow splajnow
> (w jakiejs bazie) i prosto z wartosci w wezlach dostawac calke.

A to już jest ciekawe. Vide procedurka - pętla jest po n, więc byłyby to
unrolling loopsa po n, gdzie n jest nieznane.

>> można próbować zrobić to ekstrapolacja do nieskończenie małego kroku, np.
>> metodą Aitkena.
> ?

Liczysz sobie dla kroku h, h/2, h/4 lub podobnych. Potem jeżeli błąd jest
O(h^k), a wynik dokładny X to masz ciąg

X+O(h^k), X+2^-k * O(h^k), X+4^-k * O(h^k)

z wartości tego ciągu (czyli wyników obliczeń) wyznaczasz X, czyli
ekstrapolujesz wyniki do nieskończenie małego kroku.

Oczywiście nikt ci nie broni np. zrobić sobie wykresu X+O(h^k) jako funkcji
h czy choćby logarytmu h. I potem szukania palcem po wykresie do czego to
zmierza.

> Ale po co? Jedyne zadanie, jakie przed Toba stoi to zwiac taka
> kwadrature,
> aby jej wezly pokrywalty sie z x[k]. No, chyba, ze x[k] nie sa rozno
> oddalone,
> ale o to sie pytalem w pierwszym poscie;p

Są. Na razie. Ale jest ich 10000. A to oznacza, że kwadratura
"równouprawniająca" te punkty byłaby stopnia 10000. Co jest do zrobienia
(Integrate na InterpolatingPolynomial)... ale kompletnie niepraktyczne - ze
wzrostem stopnia wielomianu rosą szanse na to że owszem będzie interpolował,
ale będzie też złą aproksymacją w sensie L2. Jak chcesz to ci mogę taką
kwadraturę wysłać :) Powinno być mniej niż 1000 linijek.

slawek

do góry