Użytkownik "bartekltg" <b...@g...com> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:98a4aeba-51da-4e56-8f7f-edbf2e3788bf@c1
g2000yqi.googlegroups.com...
> a splajny w normie L_2. Stad jeszcze nic o wlasnosciach kwadratur nie
> wynika.

Zgoda. Ale całki te nie są ważne same w sobie - lecz jako funkcjonały
określone na funkcjach. Jeżeli biorę funkcje gładkosklejane to te funkcje
znacznie lepiej modelują przebieg funkcji jakie występują w modelu
matematycznym danego zjawiska przyrodniczego. Mając potem takie spline'y
mogę nie bać się liczyć pochodnych itd. itp.

> Tutaj masz juz wykonane dwa pierwsze kroki. Masz dane. Uzywamy
> kwadratury
> parabol czy jakiesj innej i z glowy. sumujemy z odpowiednimi
> wspolczynnikami
> wartosci w tabelce. To wszystko.

Teoretycznie tak. W praktyce - weź sobie metodę która łyka na raz 23 węzły
(dlaczego tyle? nieważne, to tylko przykład). Podziel sobie 10000 punktów w
następujące sposoby:
23+23+..., 1+23+23+..., 2+23+23+...,...,22+23+23+... (oczywiście, dla
punktów na początku i na końcu jakoś trzeba dać sobie radę - ale tego będzie
mniej więcej 50 punktów na 10000 czyli 0.5%). Uśrednij te wszystkie wyniki.
Co ci wyjdzie? Surprise, surprise - wzór trapezów (z małymi zwichrowaniami
na końcach, ale to 0.5% przypadków, do olania).

Trochę to śmieszne. Ale robienie tych wszystkich tabelek i współczynników
nie ma sensu.

Natomiast dla spline'ów wrzucasz całą krzywą na raz do procedury (wysłałem
ją do wątku, więc możesz ją sobie przetestować, to uproszczony wariant dla
kubicznych i jeszcze końcówki jakieś byle jakie - tego rodzaju spline jest
niejednoznaczny bez założeń o pochodnej na początku i końcu).

W zasadzie dla wielomianu n-tego stopnia przechodzącego przez n punktów -
też tak jest. Cała krzywa idzie od razu. Ale wielomian stopnia 10 tysięcy?
Brrr... to nie zadziała.

> Po pierwsze jednego nie dodasz, dla parabol musisz dodac 2, dla
> simpspona 3.

Tak, po prostu dodajesz po jednym punkcie - i patrzysz jak wzór ślizga się
po sobie.

> I co z tego. I tak obie wartosci, ciut rozne, (druga po odjeciu calki
> z brzegow) sa
> dokladniejsze(!) od przyblizania calki metoda trapezow.

Spline jest dokładniejszy. Sprawdzone - połowienie kroku całkowania daje
wartości szybciej zbieżne.

> z 'wypuklosci'. Usredniajac to spowrotem dostajesz trapezy - tracisz
> aproksymowana informacje f'.

Im więcej uśredniania, tym mniej arbitralny jest wynik.

> Wyzej masz powiedziane, to nieprawda. Twoja niestabilnosc i tak lezy

Oj, nie widziałeś, nie liczyłeś... a wiesz. Weź sobie policz sam i zobacz,
np. na funkcji Exp[-0.01]*Sin[x]. Albo licząc pole okręgu. Co będzie
dokładniejsze?

> liniowym (dla kubicznych mamy macierz trojdiagonalna, algorytm jest

Łoczywiście. Vide procedurka jaką posłałem do wątku (krótka była, więc
wysłałem).

> Notatek nie chce mi sie szukac, jak to dawno temu robilem, ale pewnei
> taz w
> jakijes czesci da sie ominac wyrazanie wprost wspolczynnikow splajnow
> (w jakiejs bazie) i prosto z wartosci w wezlach dostawac calke.

A to już jest ciekawe. Vide procedurka - pętla jest po n, więc byłyby to
unrolling loopsa po n, gdzie n jest nieznane.

>> można próbować zrobić to ekstrapolacja do nieskończenie małego kroku, np.
>> metodą Aitkena.
> ?

Liczysz sobie dla kroku h, h/2, h/4 lub podobnych. Potem jeżeli błąd jest
O(h^k), a wynik dokładny X to masz ciąg

X+O(h^k), X+2^-k * O(h^k), X+4^-k * O(h^k)

z wartości tego ciągu (czyli wyników obliczeń) wyznaczasz X, czyli
ekstrapolujesz wyniki do nieskończenie małego kroku.

Oczywiście nikt ci nie broni np. zrobić sobie wykresu X+O(h^k) jako funkcji
h czy choćby logarytmu h. I potem szukania palcem po wykresie do czego to
zmierza.

> Ale po co? Jedyne zadanie, jakie przed Toba stoi to zwiac taka
> kwadrature,
> aby jej wezly pokrywalty sie z x[k]. No, chyba, ze x[k] nie sa rozno
> oddalone,
> ale o to sie pytalem w pierwszym poscie;p

Są. Na razie. Ale jest ich 10000. A to oznacza, że kwadratura
"równouprawniająca" te punkty byłaby stopnia 10000. Co jest do zrobienia
(Integrate na InterpolatingPolynomial)... ale kompletnie niepraktyczne - ze
wzrostem stopnia wielomianu rosą szanse na to że owszem będzie interpolował,
ale będzie też złą aproksymacją w sensie L2. Jak chcesz to ci mogę taką
kwadraturę wysłać :) Powinno być mniej niż 1000 linijek.

slawek