On 15.05.2016 11:37, peter wrote:
> Borneq pisze:
>> W dniu 15.05.2016 o 04:29, Borneq pisze:
>>> W dniu 15.05.2016 o 04:23, Borneq pisze:
>>>> Jakie wzory uogólnionych ciągów inicjowanych jedynkami?
>>>
>>> To znaczy wzór nie na same ciągi, ale równanie dla x_{i+1}/x_i przy i
>>> dążącym do nieskończoności.
>>> Na przykład dla Fibonacciego : fib^2 = fib+1
>>
>> Chyba wiem:
>> dla Fibonacciego: a_n = a_{n-1}+a_{n-2}
>> jeśli przez r oznaczymy golden ratio, to
>> r^2 = r+1
>> dla innych będzie analogicznie:
>> r^3 = r^2+r+1
>
> OK. Tylko to nie jest już golden ratio
>
> r = 1/3 ( 1+(19-3sqrt[33])^(1/3) + (19+3sqrt[33])^(1/3) )
> r = 1.839286755
>
>> r^4 = r^3+r^2+r+1
>> r^5 = r^4+r^3+r^2+r+1
>> ...
>> Wystarczy teraz do tablicy Hornera i szukać metodą Newtona około
>> punktu x=2.
>>
> A to masz już gotowe
> {{2, 1.618033989}, {3, 1.839286755}, {4, 1.927561975}, {5,
> 1.965948237}, {6, 1.983582843}, {7, 1.991964197}, {8,
> 1.996031180}, {9, 1.998029470}, {10, 1.999018633}, {11,
> 1.999510402}, {12, 1.999755501}, {13, 1.999877833}, {14,
> 1.999938939}, {15, 1.999969475}, {16, 1.999984739}, {17,
> 1.999992370}, {18, 1.999996185}, {19, 1.999998093}, {20,
> 1.999999046}}

Nie ma co się ograniczać;-)

2:
1.61803398874989484820458683436563811772030917980576
2862135448622705260462818902449707207204189391137
3:
1.83928675521416113255185256465328660042417874609759
2246778758639404203222081966425738435419428307014
4:
1.92756197548292530426190586173662216869855425516338
4727146647038009666062297815559149818253461890653
5:
1.96594823664548533718993737593440139615132717745686
1393236934508442252712871886881734818665554630472
6:
1.98358284342432633038562929339142575273008086556882
1753216359065656702278014172402986575070226899797
7:
1.99196419660503502109774175458437496347931896005315
7995244782153400951980309622183563141577022719017
8:
1.99603117973541458981531790175583977448937968094522
1927634853627284595269945627520379784497496677719
9:
1.99802947026228669866233146697141889422394811200720
817635007606418347246216418323113493506302640167
10:
1.99901863271010113866340923912915286185431007606222
0826532008328824786927236540933057020104301232375
11:
1.99951040197828549144004395686152932666108125426661
4810779837519236615390078719789044140796520274345
12:
1.99975550093731753669742676240038291238332338650455
6323062753939321611287661284370644702025866990915
13:
1.99987783271154554003994689921299047787226321688886
7413202466954233036366079897025359931465066825935
14:
1.99993893874959464849784505917096169163418644796918
5808282677452968010724453480158889012554038686369
15:
1.99996947543450329236018920141815304300679660821682
0644909453656234921657658569086286226322162157151
16:
1.99998473934794410728905969085318052339878986504534
7828924870915759038438904118573567103314365400392
17:
1.99999237011065455458126208666269017374446142388755
5531876842475084516571192165982892311479262694294
18:
1.99999618517176026801073473341641067088302869562077
0951598826851042717888337484473992487986041191113
19:
1.99999809261680543296852802771976142820042834813584
1577975196837806368081561631463543584620578204458
20:
1.99999904631658851445731640844604844501670625773679
8957683555662453016630707735356535989845294224046

Kod w c++ (mathematica drogawa) na dole.


bieganie tego pierwiastka do 2 łatwo zrozumieć znów patrząc na
wielomian.

w0= q^k - q^(k-1) - q^2 - q - 1

Rozszerzemy go dla ułatwienia obliczeń o dodatkowy pierwiastek
mnożąc przez (q-1). NIe zmienia to pozostąłych pierwiastków.

w = w*(q-1) = q^(k+1) - 2 q^k + 1

[Przy okazji, robiąc wykres pierwiastków widać, że układają sie
na okregu jednostkowym i dodatkowy pierwiastek siedzi w okolicy x=2.
Spodziewam się więc, że ten wielomian podobny jest do
(q^k -1) (q-2) = q^(k+1) - 2 q^k - q -2 ]

0 = q^k (q-2) +1

(2-q)q^k = 1

(2-q)q^k ma pierwiastek w 0 i 2. W okolicy 2 bardzo szybko rośnie,
(bo praktycznie wygląda jak funkcja liniowa (2-q)*2^k) i trafia
w jedynkę. Skoro przyblizęnie q^k = 2^k wydaje się dobre i w okolicy
rozwiązania
(2-q)q^k = 1
to je zastosujmy do rozwiązania:

(2-q) = 1/2^k.
q = 2 - 2^-k

{{15, 1.9999694824218750000},
{16, 1.9999847412109375000},
{17, 1.9999923706054687500},
{18, 1.9999961853027343750},
{19, 1.9999980926513671875},
{20, 1.9999990463256835938}}

Bardzo ładnie współgra z dokładnymi wynikami.


pzdr
bartekltg



#include <iostream>
#include <mpreal.h>
#include <iomanip>
using namespace std;

// kompilować z biblotekami -lmpfr -lgmp

int main(){
const int precyzja = 100;
mpfr::mpreal::set_default_prec(precyzja*1.2*log(10)/
log(2));
mpfr::mpreal x ;

for (int k=2; k<21;k++) {
x=2;
while ( (x-2)* mpfr::pow(x,k) + 1 > pow(10,-precyzja) )
x= (x *(2 + k *(-2 + x) - mpfr::pow(x,-k)))/(k* (-2 + x) + x) ;
cout <<setprecision(precyzja)<< k<<": "<< x << endl;
}
return 0;
}