Użytkownik "kenobi" napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:a8bc94f7-d49a-40e5-875e-8a1e51abe57a@go
oglegroups.com...

> czy ten epsilon (2.2? 1.1?) to jest moze po prostu 'roznica' miedzy
> kolejnymi doublemi
>czy to jest pól tej róznicy czy co? Ile wynosi

Celna uwaga.

Ja "od zawsze" jakoś tak byłem przyzwyczajony (epsilonowo-deltowa definicja
granicy funkcji), że epsilon to "coś małego", takie że owszem nie jest to
zero, ale w istocie rzeczy jest to najmniejsza wartość jaka da się użyć w
obliczeniach. Kwestia jak zapisane są liczby (dwójkowo, trójkowo, czy może
analogowo np. napięcie elektryczne) - to zupełnie inny problem. Czyli
definicja sup { epsilon in R : 1+epsilon > 1 } wydaje mi się zupełnie
naturalna i zrozumiała nawet dla 10-latka. Oraz najbardziej przydatna - nie
interesuje mnie, co za krasnale siedzą w CPU/FPU/APU - byle liczyły "jak
trzeba".

Oczywiście dla hodowców krasnali - tj. dla konstruktorów procesorów itd. -
epsilon może być równy matematycznie pojętej różnicy pomiędzy liczbą 1
zapisaną w (no w czym, FPU czy RAM?)... a najmniej różną od niej liczbą
nieco większą. "Matematycznie pojętą" oznacza, że nie musi być tak, ze da
się policzyć (1+epsilon) - 1 na danej maszynce (tj. w FPU) - ale, że
teoretycznie tyle.

Tyle że w float.h jest wprost napisany warunek 1.0 + x != 1.0 .

Niechlujstwo jest w tym, że jak damy x = -10.0, to wychodzi 1.0 + (-10.0)
czyli w przybliżeniu -9.0. A w przybliżeniu dlatego, że FPU trochę
zaokrągli. W każdym razie warunek z definicji będzie spełniony. Ale
oczywiście to jest czepialstwo, bo "wiadomo o co chodzi". Że ma być x > 0.
czyli dodatnie.

Mniej oczywistym błędem jest to, że liczba double x = 1.111E-16 też daje 1.0
+ x != 1.0, czyli spełnia warunek. Natomiast MS uważa że epsilon > 2.22E-16
.

I możemy się spierać, jak zdefiniować epsilon - ale po prostu to co jest we
float.h jest wewnętrznie sprzeczne.


A teraz wiki - w tym samym haśle jest jednocześnie, że epsilon jest równe
1.11E-16 i że jest równe 2.22E-16. Nieważne jak definiujemy epsilon - ale
ponieważ 1.11E-16 != 2.22E-16 (w sensie matematycznym i w sensie FPU też) -
to znaczy, że w Wikipedii (EN) jest pomyłka. Albo w jednym miejscu, albo w
drugim, albo w obu. To logiczne (jak mawiał Spock).


Jeszcze o roli epsilona. Gdy służy do np. wyboru kroku jako sqrt(epsilon),
to nie ma wielkiego znaczenia, czy jest 1.11E-16 czy 2.22E-16.

Problemy mogą być, gdy np. uznamy że wolno zaokrąglać wartości mniejsze niż
epsilon zapisując je jako konkretnie zero. Albo gdy mniejsze od epsilon*coś.
Tego typu praktyki były w obliczeniach w Mathematica'e swego czasu - jak
część Im(z) < epsilon*coś to uznawało, że liczba jest czysto rzeczywista.


Przy "dobrym epsilon" zaokrąglenie w zero jest sensowne. Przy złym - będą
błędy. Jak duże? A to już zależy od szczegółów. Podobnie jak to było z
"Pentium bug".