Użytkownik "bartekltg" <b...@g...com> napisał w wiadomości grup
dyskusyjnych:3f12f484-c177-4105-bda6-f8159c3543dd@a3
6g2000yqc.googlegroups.com...
> Z jednaj strony zachwalasz splajny, ze sa podobne do funkcji, z
> drugiej strony to.

Funkcje sklejane są całkiem niezłe - problem w tym, że być może istniej
lepsze podejście. Lepsze niż "splajny". Po prostu owe funkcje sklejane to
wyjściowy poziom - jeżeli ktoś może wskazać lepszą metodę - to bardzo się
ucieszę. Ale jeżeli ktoś jest akurat na etapie przeżywania metody 3/8 - to
po prostu z góry odpisuję - funkcje sklejane są lepsze.

> Trapezy, sipmson, czy podobne kwadratury wyzszych, to kwadratury
> interpolacyjne.

Wszystkie te tzw. kwadratury służyły (i służą) do rozwiązania odmiennego
zagadnienia: mamy przedział (a,b), pewną znaną funkcję f(x) i chcemy
obliczyć całkę oznaczoną - a każde obliczenie f(x) - czyli call f(x) -
kosztuje dużo. Na dzień dobry nie mamy nic - dopiero będziemy obliczali
wartości funkcji f(x) gdy to będzie potrzebne.

Tymczasem problem jaki należy rozwiązać jest: mamy pewien przedział (a,b),
mamy JUŻ OBLICZONE wartości f(x) i to w 10000 punktów; ale nie dostaniemy
ani jednego punktu więcej; chcemy obliczyć całkę. Jak widać nie ma sensu
zastanawiać się dla jakich x policzyć f(x).

> rzedu da znacznie lepszy wynik*). A to, ze roznica miedzy tym, a
> trapezami jest taka,
> ze co drugi wezel bierzemy z dwa razy wieksza waga niz inne.. jak
> popatrzysz
> na calke z paraboli to nawet nie jest takie zaskakujace.

Zaskakujące będzie więc dla ciebie jak zobaczysz co stanie się z twoim
pięknym wzorem gdy dodasz 1 punkt na początku - wagi 2 przyjmą akurat te
punkty które miały wagi 1. Uśrednienie wszystkich wzorów tego rodzaju da
wagi jednakowe - czyli powrót do wz. trapezów. Ten efekt jest opisany w
lekturze tak popularnej jak Teukolski et al. "Numerical Recipes".

> Simpsona mozesz smialo dawac. Albo wielomany 3 rzedu. Blad taki sam,
> a prostrze niz splajny.

Bynajmniej. Gołym okiem - wydaje się że to to samo. Jednak te "prostsze"
dawały niestabilne rezultaty - przeciwnie niż funkcje sklejane. To wszystko
było testowane. Ale oczywiście - być może jest coś jeszcze lepszego - chodzi
o znalezienie algorytmu "state of art". Czy zastosowanie funkcji
sklejanych - ściślej, wielomianowych funkcji sklejanych - jest nie do
poprawienia - tzn. czy nie da się lepiej? To jest właśnie pytanie, na które
szukam odpowiedzi.

> Jesli mozesz uzyskac liczbe punktow postaci 2^n, a funkcja jest
> gladka,
> to zdecydowanie romberg - algorytm jakby stworzony do Twojego
> zagadnienia,
> mamy tabelke rownooddalonych punktow i szacujemy calke.

Liczba punktów zmienia się w trakcie obliczeń. Jedyną sensowną rzeczą jaką
można próbować zrobić to ekstrapolacja do nieskończenie małego kroku, np.
metodą Aitkena. Jeszcze raz - gdy napisałem że metoda Romberga nie jest
odpowiednia - to nie dlatego że coś tam - ale dlatego że zostało to
sprawdzone. Takie kwadratury jak Romberga zakładają że możesz w każdej
chwili obliczyć dla danego x wartość f(x). W tym przypadku - to nieprawda.
Nie możesz obliczyć f(x), masz dane wartości x[1],...,x[n] oraz
y[1],...,y[n]. Oczywiście metodę Romberga można zastosować do funkcji
interpolującej - ale dla takiej funkcji łatwiej i szybciej policzyć całkę
analitycznie (np. gdy interpolacja wielomianem).

slawek