On 2012.11.01 11:15, slawek wrote:

> Tzw. maszynowy epsilon (see Wikipedia) wynosi nie więcej niż 1.111E-016 dla
> liczb 64-bitowych.

Na wikipedii jest 2.220446e-16 (zjedź na dół do przykładu)

> Taki wynik łatwo otrzymać nawet naiwnym algorytmem, w
> którym po kolei sprawdzane są w pętli kolejne wartości epsilon - każda
> kolejna nieco (o ułamek procenta) mniejsza od poprzedniej.

A po co taki naiwny algorytm? definicja maszynowego epsilon chyba jest
jasna?

> Algorytm "fast"

O(1) patrz poniżej

> adaptacyjnie zmienia krok itd. - nie ma to znacznego wypływu na wynik, ale
> liczba kroków jest znacznie mniejsza.
>
> Jednak zaglądając do float.h w MS VS C++ można znaleźć definicję
> DBL_EPSILON, wraz ze stosownym komentarzem, 2.22044604925031310000E-016.

I jest to prawidłowa wartość.

> Jest to niemal 2 razy więcej, niż naprawdę wynosi epsilon (obliczony właśnie
> programem skompilowanym w MSVS C++). "This is not a bug, this is
> inaccuracy" - chciałoby się powiedzieć.

Pokaż ten program.

> Zaglądamy dalej - Matlab - tak ostatnio chwalony - ma wbudowaną funkcję
> eps - zgadnijcie co zwraca eps jako wynik liczbowy? Tak, też się zdziwiłem -
> przecież Matlab to Matlab.
>
> Jeszcze raz rzut oka do Wikipedii - jest sobie wyraźnie dobra wartość
> epsilona dla double w tabelce - ale już np. program w Phytonie i wyniki z
> niego - znowu błędne 2.22E-16 . I nie jest to "wina Phytona" - ale po prostu
> błąd w programie.
>
> "Phytonowcy", staff MS i ludzie z MathWorks popełnili jeden i ten sam błąd -
> dzielili przez dwa. Ciąg wartości x[n], jakie otrzymywali, dla dostatecznie
> dużego n nie spełniał nierówności 1.0+x[n] > 1.0.

Nie wiem co tu jest do dzielenia, aby obliczyć maszynowe epsilon nic nie
trzeba dzielić, przykład:

#include <iostream>
#include <stdint.h>
#include <iomanip>

int main()
{
union
{
double f;
uint64_t i;
} u1, u2, u3;


u1.i = 0x3ff0000000000000ul;
// jeden (exponent na 1023 mantysa na zero -- jeden bit z przodu
// mantysy jest domniemany)

u2.i = 0x3ff0000000000001ul;
// jeden i ciupka (ostatni bit mantysy na jeden i jeden bit z przodu
// domniemany)

u3.f = u2.f - u1.f;


std::cout << "Maszynowe epsilon: " << std::setprecision(18) <<
u3.f << std::endl;
}

/home/tomek/roboczy/test$ g++ -O2 -o test test.cpp && ./test
Maszynowe epsilon: 2.22044604925031308e-16

Oczywiście nie widzę sensu wypisywania tej wartości jako decimal (to
tylko przybliżenie).
W C++ jako stałą możesz mieć w ten sposób:
std::cout << std::numeric_limits<double>::epsilon() << std::endl;


--
Tomek
http://www.ttmath.org