Dzień dobry.

Mój kolega ma problem z zadaniem, które ma rozwiązać do pewnego projektu na
studiach. Próbowałem mu pomóc, jednak nie uzyskałem realistycznego
rozwiązania. Jeśli ktoś mógłby powiedzieć, w którym miejscu robię błąd,
byłbym bardzo wdzięczny.

http://i43.tinypic.com/9geu7t.jpg

Jest taka struna, zamocowana w podporach. Jest wyginana przez siłę P i przez
to także rozciągana. Potrzebuję obliczyć moduł Younga oraz moment gnący.

Dane:
f= 2 mm -strzałka ugięcia w x=l/2
R= 79 N -wypadkowa siła reakcji w każdej z podpór
d= 0,28 mm -średnica struny
l= 647,7 mm -długość struny nieodginanej

Szukane:
E -moduł Younga
Mg -moment gnący

Rozwiązałem to w ten sposób:
y(x) = ax^2 - bx gdzie a= 4f / 3l^2, b= 4f / 3l //równanie krzywej

l_krz = całka(t1 - t2) (x'(t)^2 + y'(t)^2)^1/2 //całka krzywoliniowa licząca
długość krzywej

x= t+b / a, y= t(t+b) / a

l_krz = całka(t1-t2) 1/a * (1 + (t+b)^2)^1/2

Po użyciu Wolphram Alpha i podstawieniu do wzoru mam: l_krz = 651,7 mm

Czyli delta_l = l_krz - l = 4 mm

Mg= R*cos(alfa)*x + R*cos(alfa)*|y| - P(x-l/2) //moment gnący, alfa jest to
kąt ugięcia, P to siła zginająca strunę

tg(alfa)=dy/dx
P- 2*R*cos(alfa(0)), alfa(0)= 0,24 stopnia

dla x=l/2: Mg= R*(l/2)

Pierwsze pytanie:
Czy ten moment wyznaczyłem poprawnie? Mam wrażenie, że nie, jednak nie umiem
wymyślić jak to zrobić.

Wg= pi*d^3 / 32
sigma = Mg/Wg = 16*R*l / pi*d^3 //największe naprężenia

sigma= E*epsilon = E*(delta_l/l) //prawo Hooke'a

Drugie pytanie:
Czy w tej sytuacji można stosować zwykłe prawo Hooke'a, tak jak w przypadku
rozciągania?

E = 16*R*l^2 / delta_l*pi*d^3 //moduł Younga

Po podstawieniu danych uzyskuję wynik absurdalnie duży. Nie oczekuję
gotowego rozwiązania. Wystarczy mi przynajmniej jakaś wskazówka.

do góry

On Fri, 16 Apr 2010 10:30:06 +0200, 7ky wrote:
>http://i43.tinypic.com/9geu7t.jpg
>
>Jest taka struna, zamocowana w podporach. Jest wyginana przez siłę P i przez
>to także rozciągana. Potrzebuję obliczyć moduł Younga oraz moment gnący.

A gdzie ta sila P przylozona ?

>Dane:
>f= 2 mm -strzałka ugięcia w x=l/2
>R= 79 N -wypadkowa siła reakcji w każdej z podpór
>d= 0,28 mm -średnica struny
>l= 647,7 mm -długość struny nieodginanej
>
>Szukane:
>E -moduł Younga
>Mg -moment gnący

I gdzie te momenty ? I jak zamocowane konce ?

Jesli to jest struna, to z zalozenia momentow sie nie liczy.
Przy podanych wymiarach tak to zreszta wychodzi ze znaczacych momentow
przeniesc nie moze. To mi raczej wyglada na ugiecie pod ciezarem
wlasnym, przypadek krzywej lancuchowej.

>Rozwiązałem to w ten sposób:
>y(x) = ax^2 - bx gdzie a= 4f / 3l^2, b= 4f / 3l //równanie krzywej

To nie jest rownanie krzywej lancuchowej, choc w pierwszym
przyblizeniu moze byc.

J.

do góry

Tak, zapomniałem napisać zaznaczyć, że siła P jest przyłożona w punkcie
x=l/2. Moment gnący który obliczam pochodzi od sił reakcji w podporach.
http://i41.tinypic.com/23sy7ap.jpg - lepszy rysunek.

Odnośnie zamocowania końców, to nie mam pewności, choć tutaj założyłem, że
są to przeguby nieprzesuwne.

do góry

Proszę zauważyć, że nie jest podana wartość siły P przyłożonej w połowie rozpietości
struny.
To sugeruje, że siłę można pomijać w rozwiązywaniu zadania. Można ją też wyliczyć z
zależności trygonometrycznej i znajomości reakcji w utwierdzeniu. 2f/l = tg (alfa),
gdzie
(alfa) kąt jaki tworzy nić-struna z prostą ( z domysłu) poziomą przechodzącą przez
utwierdzenia. Przyrost długości nici-struny, pod obciążeniem pionowym P wywołującym
rozciąganie nici-struny siłą w utwierdzeniu, zatem oną reakcją R=7,9 [N] można
obliczyć z
tw.Pitagorasa, gdzie przyprostokątne to strzałka ' f ' i połowa rozpiętości Lo = jak
należy się
domyśleć równa długości początkowej nici-struny. A długość rozciągniętej nici-struny
to dwie
długości przeciwprostokątnej. Problem jest statycznie wyznaczalny, łatwy do
rozwiązania.
Proste rozciąganie ze znanym już teraz przyrostem długości, zatem i znanym już
(epsilon) i
siłą która te efekty powoduje.
PS. Krzywa łańcuchowa nie jest tu właściwą krzywą. Po pierwsze to struna - nić nie
jest nicia
wiotką, choć ciężką, Po drugie,
przyłożona jest do nici siła zewnętrzna ( ta w połowie rozpiętości) i ona tą siłą,
która zmienia
charakter obciążenie nici wiotkiej ( a ten przypadek jest z nicia nie wiotką). Linię
ugięcia takiej
nie wiotkiej ciężkiej własnym ciężarem struny można oczywista obliczyć, napisać jej
równanie, ale trzeba uwzględnić momenty zginające rozłożone w sposób ciagły wzdłuż
długości struny. Zadanie jest wtedy złożone niż to zapodane.
Pytanie o momenty ( w tym zadaniu) wydaje się dziwne. Nić nie wiotka co przwda, ale
na tyle
mało sztywna na zginanie ze momentu utwierdzenia nie ma co sie doszukiwać.
Szczególnie,
że nie poinformowano o sposobie wprowadzenia obciążenia tą siłą w połowie
rozpiętości.
Pozdrowienia.
W.Kr.
PS. Gdyby doszły dwie wiadomości, (jedna z adresu Googlowego), to tylko dla tego, że
z
googlowej poczty coś nie wchodzi i powtórzyłem na Onecie.

--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl

do góry

Użytkownik "7ky" <...@...a> napisał w wiadomości
news:hq976k$kdv$1@news.agh.edu.pl...

Mam wątpliwość co do sensu liczenia momentu gnącego w strunie. Jeśli to
faktycznie struna, to rozwiązanie znajdziesz w byle skrypcie do mechaniki.
Na politechnice to dawniej było bodaj na III semestrze jako tzw. drgawy.
Drgania struny.

Jeśli natomiast to nie jest struna, tylko belka, to zagadnienie nie jest
statycznie wyznaczalne. Ta belka będzie zginana i rozciągana jednocześnie,
bowiem po obciążeniu w środku długości i odkształceniu dojdzie do
wydłużenia. Potrzebne wzory są w tablicach wytrzymałościowych i nie ma co
tu moiom zdaniem się doktoryzować. A jeśli musisz, to zauważ, że po dolnej
stronie naprężenia będą się sumować (rozciąganie plus zginanie), a od
górnej odejmować.

do góry

Dziękuje wszystkim odpowiadającym za pomocne uwagi. Teraz to bardziej
rozumiem.

do góry

>
> Użytkownik "7ky" <...@...a> napisał w wiadomości
> news:hq976k$kdv$1@news.agh.edu.pl...
>
> Mam wątpliwość co do sensu liczenia momentu gnącego w strunie. Jeśli to
> faktycznie struna, to rozwiązanie znajdziesz w byle skrypcie do mechaniki.
> Na politechnice to dawniej było bodaj na III semestrze jako tzw. drgawy.
> Drgania struny.
>
> Jeśli natomiast to nie jest struna, tylko belka, to zagadnienie nie jest
> statycznie wyznaczalne. Ta belka będzie zginana i rozciągana jednocześnie,
> bowiem po obciążeniu w środku długości i odkształceniu dojdzie do
> wydłużenia. Potrzebne wzory są w tablicach wytrzymałościowych i nie ma co
> tu moiom zdaniem się doktoryzować. A jeśli musisz, to zauważ, że po dolnej
> stronie naprężenia będą się sumować (rozciąganie plus zginanie), a od
> górnej odejmować.
>
Oczywista, nie ma co robić doktoratu, bo zadanie jest ze statyki . Do struny -nici,
przyłożona
siłę, która tam trwa statycznie. Drgania struny i równanie drgającej struny to
zupełnie inny
problem fizyczny opisany tym równaniem.
Pozdrowienia.
W.Kr.


--
Wysłano z serwisu OnetNiusy: http://niusy.onet.pl

do góry

On Fri, 16 Apr 2010 15:40:41 +0200, 7ky wrote:
>Tak, zapomniałem napisać zaznaczyć, że siła P jest przyłożona w punkcie
>x=l/2. Moment gnący który obliczam pochodzi od sił reakcji w podporach.
>http://i41.tinypic.com/23sy7ap.jpg - lepszy rysunek.
>
>Odnośnie zamocowania końców, to nie mam pewności, choć tutaj założyłem, że
>są to przeguby nieprzesuwne.

Sily R zle zaznaczyles - beda wzdluz struny, z odchylka z tytulu jej
sztywnosci. A odchylka przy tych parametrach bedzie minimalna.

Normalnie to nie tak bedzie wygladalo - struna sie zegnie na srodku,
kat bedzie ostry.
W idealizowanym rozwiazaniu bedziesz mial dwie proste linki bez
zadnych momentow, lub dwie krzywe lancuchowe jesli dodac ciezar
wlasny.
W nieidealizowanym trzeba uwzglednic sztywnosc struny.

I ewentualnie policzyc czy sie nie polamie w miejscu przylozenia sily.
A to z kolei zalezy od sposobu - jest tam ostrze klina czy jakies
ucho o lagodnym promieniu ..

Tak czy inaczej poczatkowy moment gnacy na srodku to bedzie P/2*x/2
- sila pionowa w podporze razy ramie. Ten moment albo zegnie material
i wszystko sie zmieni, albo polamie.

Trzeciej mozliwosci nie widze przy podanych zalozeniach - takich
materialow na Ziemii nie ma :-)

J.

do góry

On 17 Kwi, 13:34, J.F. <j...@p...onet.pl> wrote:
> On Fri, 16 Apr 2010 15:40:41 +0200,  7ky wrote:
> >Tak, zapomniałem napisać zaznaczyć, że siła P jest przyłożona w punkcie
> >x=l/2. Moment gnący który obliczam pochodzi od sił reakcji w podporach.
> >http://i41.tinypic.com/23sy7ap.jpg- lepszy rysunek.
>
> >Odnośnie zamocowania końców, to nie mam pewności, choć tutaj założyłem, że
> >są to przeguby nieprzesuwne.
>
> Sily R zle zaznaczyles - beda wzdluz struny, z odchylka z tytulu jej
> sztywnosci. A odchylka przy tych parametrach bedzie minimalna.
>
> Normalnie to nie tak bedzie wygladalo - struna sie zegnie na srodku,
> kat bedzie ostry.
> W idealizowanym rozwiazaniu bedziesz mial dwie proste linki bez
> zadnych momentow, lub dwie krzywe lancuchowe jesli dodac ciezar
> wlasny.
> W nieidealizowanym trzeba uwzglednic sztywnosc struny.
>
> I ewentualnie policzyc czy sie nie polamie w miejscu przylozenia sily.
> A to z kolei zalezy od sposobu  - jest tam ostrze klina czy jakies
> ucho o lagodnym promieniu ..
>
> Tak czy inaczej poczatkowy moment gnacy na srodku to bedzie P/2*x/2
> - sila pionowa w podporze razy ramie. Ten moment albo zegnie material
> i wszystko sie zmieni, albo polamie.
>
> Trzeciej mozliwosci nie widze przy podanych zalozeniach - takich
> materialow na Ziemii nie ma :-)
>
> J.

Jak już tak, to reakcja w podporze ma kierunek struny. Rozkładając ją
na równoległą i prostopadłą do prostej łączącej punkty zamocowania
mamy dla lewej podpory Ry= R*sin(alfa) i Rx= R* cos(alfa), gdzie (alfa
arctg (2f/Lo). Zatem dla lewej podpory składowa pozioma reakcji ma
zwrot w lewo. Moment wzglęgem przekroju odległego o x od lewej podpory
( przyjmując układ w którym moment jest dodatni jak kręci
zgodniezegarowo) mamy :
M = R*x * sin(alfa) - R*f (x)*cos(alfa) - 1/2 q*x^2 gdzie
q jest ciężarem jednoskowym struny. f(x) jest strzałką ugięcia w
przekroju odległym o x od podpory .
A jak sobie przypominam jest to zagadnienie zginania wg teorii II-go
rzędu i ma rozwiązanie w funkcjach hiperbolicznych.
Zatem jest ta trzecia możliwość.
I nie jest to krzywa łańcuchowa z definicji.
Pozdrowienia.
W.Kr.

do góry