W dniu wtorek, 11 lutego 2020 08:01:34 UTC+1 użytkownik Wojciech Muła napisał:
> On Friday, February 7, 2020 at 1:48:31 PM UTC+1, osobliwy nick wrote:
> > Mam do wykonania pewną procedurę i zastanawiam się jak skonstruować algorytm,
który wykonałby to najszybciej. Weźmy pewną liczbę zapisaną binarnie. Docelowo mają
to być liczby 128-bitowe, ale w tym przykładzie weźmy liczbę 1011011 =
64+32*0+16+8+4*0+2+1. Interesują nas tylko bity, które mają wartość niezerową:
64+16+8+2+1. Dla tych bitów musimy policzyć następujące współczynniki:
> >
> > x1=64/2^(y-1) * 1
> > x2=16/2^(y-1) * 2
> > x3=8/2^(y-1) * 3
> > x4=2/2^(y-1) * 4
> > x5=1/2^(y-1) * 8
> >
> > Współczynników będzie tyle samo, co jedynek w zapisie binarnym naszej liczby. y
to liczba jedynek w zapisie binarnym naszej liczby, w naszym przykładzie wynosi 5.
Gdy mamy te współczynniki:
> >
> > x1=4
> > x2=2
> > x3=2
> > x4=1
> > x5=1
> >
> > Obliczamy liczbę:
> >
> > L = (a^0*x1+a^1*x2+a^2*x3+a^3*x4+a^4*x5)*2^(y-1)
> >
> > "a" może by równe jakiejś liczbie całkowitej podzielonej przez 2, na przykład:
0.5, 1.5, 2.5, -3.5 itd. Zastanawiam się jak to najszybciej wykonać. Jeśli liczba ma
mieć wiele bitów np. 128, to ostatnia potęga również wynosić aż 127. Stąd niezbędny
jest algorytm szybkiego potęgowania. Jednak nawet wówczas może zajść potrzeba
wykonania aż 128 potęgowań.
> >
> > Czy da się te potęgowania wykonać jakoś symultanicznie? Algorytm nie musi czekać
na obliczenie np. a^10, żeby móc zacząć liczyć a^11. Mógłby liczyć wszystkie potęgi
na raz. Liczenie tego po kolei zajmie t1+t2+t3+...tn czasu, gdzie "ti" to czasy
potęgowania kolejnych a^i. A gdyby algorytm liczył symultanicznie, to zajmie mu to co
najwyżej tyle czasu ile potrzebuje dla najwyższej, ostatniej potęgi. Czy coś takiego
jest możliwe? Ma to jakąś nazwę w branży?
>
> Policzenie całkowitej potęgi x^128 wymaga tylko log_2(128) = 7 mnożeń:
>
> x = wejście
> x2 = x*x // x^2
> x4 = x2*x2 // x^4
> x8 = x4*x4 // x^8
> x16 = x8*x8 // x^16
> x32 = x16*x16 // x^32
> x64 = x32*x32 // x^64
> x128 = x64*x64 // x^128
>
> Jak już masz te czynniki policzone, to łatwo z nich dostać dowolne potęgi.
> Np. x^73 = x^{64 + 8 + 1} = x * x8 * x64; albo x^55 = x^{32 + 16 + 4 + 2 + 1} = x *
x2 * x4 * x16 * x32.
>

Nawet ten właśnie przykład jest jednym z przykładów dydaktycznych w najlepszej
książce programistycznej ewer:

https://mitpress.mit.edu/sites/default/files/sicp/fu
ll-text/book/book-Z-H-11.html#%_sec_1.2.4